今回は正の整数を「１０進数を２進数に変換する」プログラム作成していきたいと思います。
「１０進数から２進数に変換する方法」はたくさんありますが、このページでは２つの方法と、そのプログラムの紹介をしていきたいと思います。
重要なのは考え方です。考え方が理解できれば、他の実装もいくらでも自力で導き出せると思います！
その考え方に力を入れて解説していますので、ちょっと長くなっていますが最後まで読んでいただければ幸いです。
Contents
１０進数から２進数への変換
まずは考え方についておさらいしておきましょう。
１０進数と２進数
２進数は値の表現方法の１つです。使用される数字は 0 と 1 の２種類のみです（１０進数だと 0 から 9 の１０種類の数字から構成されます）。
１０進数も値の表現方法の１つで、この表現方法が異なるために異なる数字で同じ値を表現することができます。
例えば下記の表のように同じ値を１０進数と２進数で表現することができます。
| １０進数 | ２進数 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 01 |
| 3 | 11 |
| 4 | 100 |
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１０進数から２進数への変換とは
続いて１０進数から２進数への変換について説明していきます。
１０進数は２の冪乗の倍数の足し算で表せる
１０進数の正数は必ず下記のように２の冪乗の倍数の足し算として表すことができます。
\(１０進数 = a_{N – 1} \times 2^{N-1} + a_{N – 2} \times 2^{N-2} + ・・・+ a_{2} \times 2^{2} + a_{1} \times 2^{1} + a_{0} \times 2^{0} \)
上記を満たす \(a_{N – 1}\) 〜 \(a_{0}\) にはいろんな数字の組み合わせが存在します。
例えば１０進数の 5 は、\(a_{1} = 1\)、\(a_{0} = 3\) として下記でも表せますし、
\(5 = 1 \times 2^{1} + 3 \times 2^{0} \)
\(a_{0} = 5\) として下記でも表すことができます。
\(5 = 5 \times 2^{0} \)
ただし、\(a_{N – 1}\) 〜 \(a_{0}\) を 0 もしくは 1 のみに限定すると \(a_{N – 1}\) 〜 \(a_{0}\) の組み合わせは「１つのみ」になります。
例えば 5 の場合は、下記の１つの組み合わせのみです。
\(5 = 1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{0} \)
\(a_{N – 1}\) 〜 \(a_{0}\) が 0 の場合も省略せずに書くと下記のようになります。
\(5 = 0 \times 2^{N-1} + 0 \times 2^{N-2} + ・・・ + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} \)
この \(a_{N – 1}\) 〜 \(a_{0}\) を左から順に並べたものが、１０進数を２進数に変換した結果になります。
例えば上記の例であれば、
\(5 = 00・・・101 \)
になります。\(N\) は２進数の桁数であり、\(N = 3\) とすると（つまり３桁の２進数で表すと）、結果は下記のようになります。
\(5 = 101 \)
このページでは２進数の一番右側の桁を第 0 桁と呼び、左側に行くにつれて桁が上がっていく（第 1 桁、第 2 桁・・・）前提で解説していきたいと思います。
１０進数から２進数への変換とは
ここまでをまとめると、「１０進数から２進数への変換」とは、下記と、
\(a_{N – 1} 〜 a_{0}\) の全てが 0もしくは 1
下記の両方を満たす \(a_{N – 1}\) 〜 \(a_{0}\) の組み合わせを見つけ出すことと言えます。
\(１０進数 = a_{N – 1} \times 2^{N-1} + a_{N – 2} \times 2^{N-2} + ・・・+ a_{2} \times 2^{2} + a_{1} \times 2^{1} + a_{0} \times 2^{0} \)
\(a_{n}\) の値が、２進数に変換した時の第 n 桁目の値に対応します。
逆に上式の右辺を計算すれば「２進数から１０進数への変換」を行うことができます。
「２進数から１０進数への変換」は単に計算すれば良いだけなので簡単ですが、「１０進数から２進数への変換」は組み合わせを見つけ出すことが必要なので難易度は高いです。
剰余算と除算を繰り返す方法
では、どのようにして「１０進数から２進数への変換」を行えば良いのか？ここについて解説していきます。
考え方
まずは剰余算と除算を繰り返す方法です。
１０進数から２進数への変換で紹介した下記の式を用いて２進数への変換の仕方を考えていきましょう。２進数を求めるので、\(a_{N – 1}\) 〜 \(a_{0}\) は 0 もしくは 1 に限定されます。
\( x = a_{N – 1} \times 2^{N-1} + a_{N – 2} \times 2^{N-2} + ・・・ + a_{2} \times 2^{2} + a_{1} \times 2^{1} + a_{0} \times 2^{0} \)
\(x\) は２進数に変換しようとしている１０進数とします。
第 0 桁を求める
まず \(a_{0} \times 2^{0}\) 以外の項に注目したいと思います。
\(a_{N – 1}\) 〜 \(a_{1}\) は 0 もしくは 1 ですので、これらは単に２の冪乗の値同士の足し算となります。
つまり、この足算結果は絶対に「偶数」になります。
一方で、\(a_{0} \times 2^{0}\) の結果は 0 もしくは 1 のどちらかです。
ここで思い出していただきたいのが下記の法則です。
- 偶数 + 偶数の結果は必ず偶数になる
- 偶数 + 奇数の結果は必ず奇数になる
つまり、\(a_{0} \times 2^{0}\) 以外の項の和は必ず偶数になることを考慮すれば、下記のことが言えます。
- \(x\) が偶数であれば \(a_{0}\) は偶数、つまり
0 - \(x\) が奇数であれば \(a_{0}\) は奇数、つまり
1
なので、\(x\) が偶数奇数のどちらであるかを調べれば \(a_{0}\) が 0 と 1 のどちらであるかを知ることができます。すなわち、２進数に変換した時の第 0 桁目の値を求めることができます。
C言語だと、x % 2 により 2 の剰余算を行うことで \(x\) が偶数か奇数かを調べることができます（結果が 0 であれば偶数、1 であれば奇数）。
つまり、１０進数から２進数に変換しようとしている値に対して % 2 を行うだけで、２進数の第 0 桁（\(a_{0}\)）を求めることができます。
第 1 桁以降を求める
では、他の桁はどうやって調べれば良いでしょうか？
これも実は第 0 桁とほぼ同様にして求めることができます。
まず下記の式の両辺を 2 で割ることを考えてみましょう。
\(x = a_{N – 1} \times 2^{N-1} + a_{N – 2} \times 2^{N-2} + ・・・ + a_{2} \times 2^{2} + a_{1} \times 2^{1} + a_{0} \times 2^{0} \)
C言語では整数同士の割り算では小数点以下は切り捨てされますので、それを考慮して結果を考えてみます。
結果は下記のようになります。
\( x / 2 = a_{N – 1} \times 2^{N – 2} + a_{N – 2} \times 2^{N-3} + ・・・ + a_{2} \times 2^{1} + a_{1} \times 2^{0} \)
元々あった \(a_{0} \times 2^{0}\) の部分は 2 で割ると 0.5 もしくは 0 になるので切り捨てされます。
さらにそれ以外の項に関しては冪数が 1 ずつ減ることになります（\(2^n / 2 = 2^{n-1}\)）。
ここで \(a_{1} \times 2^{0}\) 以外の項の和は、前述でも解説したように必ず偶数になります（偶数同士の足算）。
ですので、\(x / 2\) が偶数である時には \(a_{1}\) が 0、奇数である時には 1 になります。
したがって x / 2 % 2 の結果を求めることで \(x\) を２進数に変換した時の第 1 桁の値（\(a_{1}\)）を求めることができます。
他の桁に関しても同様です。
つまり、１０進数を n 回分 2 で割り算し、その結果に対して % 2 を求めれば、第 n 桁の値を求めることができます。
後はこの処理を左辺が 0 になるまで繰り返せば、１０進数から２進数への変換が行えます。
筆算で計算も可能
感の良い方なら気づいているかもしれませんが、実はここまで解説してきた変換方法は、下記の筆算と同じことを行っています。
この筆算でも 2 での剰余算と 2 での除算を繰り返すことで２進数変換していますよね。
同じことを行っているので、当然２進数への変換は筆算で計算してやれば良いです。
ただし２進数に変換できる理由ははここまで私が解説してきた内容になります。なぜこの筆算で２進数変換できるかを理解しておきたい方は、是非今回私が解説してきた内容も覚えておいていただけると幸いです。
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プログラム
この剰余算と除算を繰り返して１０進数を２進数に変換するプログラムのソースコードは下記のようになります。
下記では変数 x に格納された値を２進数にした結果を配列 bin に格納しています。
#include <stdio.h>
#define MAX_BIT 32
int main(void) {
unsigned int x; /* １０進数格納用 */
unsigned int bin[MAX_BIT]; /* ２進数格納用 */
unsigned int n;
unsigned int i;
/* １０進数を格納 */
x = 123456789;
/* 第0桁から値を算出していく */
n = 0;
while (x > 0) {
/* 剰余算で２進数の第n桁を算出 */
bin[n] = x % 2;
/* 除算で第n桁目を切り捨て */
x = x / 2;
/* 次の桁へ */
n++;
}
/* 求めた２進数を表示 */
for (i = 0; i < n; i++) {
/* 第i桁を表示 */
printf("%u", bin[n - 1 - i]);
}
printf("\n");
return 0;
}最後に２進数を表示する処理では、配列 bin の格納順の逆順で表示しています。
これは、bin には下位の桁から順に値を格納するようにしていますので、配列 bin の格納順そのままで表示すると２進数の各桁の並びが逆順になってしまうからです。
この剰余算と除算を繰り返して２進数を求める方法では、下位の桁から順に値を求めることしかできません。
ですので、上位の桁から順に値を表示するためには、上記のソースコードのように配列等の値を保存しておく変数を用意しておき、全ての桁の値を求めてから表示してやる必要があります。
ここがこの方法の難点だと思います。
ビット演算を用いる方法
次はビット演算を用いて１０進数からの２進数を行う方法の考え方とプログラムの紹介をしていきたいと思います。
考え方
ここまではどちらかというと「人間」が１０進数を２進数に変換する考え方で２進数への変換を行ってきました。
それに対して次に解説するのは「コンピュータの性質」を利用した２進数への変換方法になります。
コンピュータ内部で扱うデータは 0 と 1 のみ
実は、コンピュータが内部で扱うデータは 0 もしくは 1 の値のみです。
まさに２進数の状態でデータを扱っているのです。
こう聞くと意外と感じるかもしれません。実際にコンピュータは１０進数の値を入力したり表示したりすることもできますし、さらには画像を表示したり動画を再生したりすることもできます。
これはコンピュータ内部で扱っている 0 もしくは 1 の値を画面に表示するような時に、１０進数や画像などの人間が理解しやすい形式に変換しているだけです。
コンピュータが内部で扱っている値はあくまでも 0 もしくは 1 のみです。
この辺りは下記ページでも解説していますので興味がある方は是非読んでみてください。
コンピュータが扱うデータについて解説
ここで言いたいことは、１０進数もコンピュータ内部では２進数で扱われているということです。
なので、単に２進数の各桁が 0 もしくは 1 のどちらなのかを調べるだけで１０進数から２進数への変換を実現することができます。
ただ、この各桁が 0 と 1 のどちらであるかを調べる直接的な方法はC言語には用意されていませんので、いくつかの演算を組み合わせて行う必要があります。
ここで利用するのがビット演算とシフト演算です。
このビット演算とシフト演算については下記で解説していますので、詳しく知りたい方はこちらを参照していただければと思います。
C言語のビット演算（論理演算）について解説
& 演算を用いた１０進数から２進数への変換
まず利用するのがビット演算の１つである & 演算です。
& 演算を利用することで、１０進数を２進数で考えた時の、特定の桁が 0 と 1 のどちらであるかを調べることができます。
具体的な方法は下記の通りです。
まず１０進数から２進数に変換したい値を格納した変数（x とします）と、２進数で考えたときに、ある桁（第 n 桁とします）のみ 1 になる値を格納した変数（y とします）を用意します。
そしてこの２つの変数 x と y に対して & 演算を行います。
a = x & y;この結果の変数 a には下記の値が格納されることになります。
0：xを２進数として考えた時の第n桁が0の場合0以外：xを２進数として考えた時の第n桁が1の場合
ですので、n を 0 から特定の桁数まで増やしながら下記を繰り返すことで、１０進数 x を２進数に変換することができます（下記では第 N - 1 桁目まで n を増やしています）。
nを0とする- ２進数で考えたときに第
n桁のみが1となる値を算出する - その算出結果と
xとの&演算を行う &演算の結果に応じて下記のように２進数のn桁目の値を設定0：&演算の結果が0の場合1：&演算の結果が0以外の場合
nを1増やすnがN以下なら 2. に戻る。それ以外は終了
シフト演算を用いた特定の桁のみを 1 とする値の算出
では「２進数で考えたときに第 n 桁のみが 1 となる値を算出する」にはどうすれば良いでしょうか？
これは「シフト演算」を用いれば簡単に行うことができます。
シフト演算では、２進数の各桁を、指定した桁数分左方向 or 右方向にそのままシフトすることができます。
ですので、２進数で考えたときに第 0 桁目のみが 1 となる値（１０進数で考えると 1）を用意し、その値を n 桁分左方向にシフトすれば上記の値を算出することができます。
左シフトする演算子は << ですので、具体的には下記の処理で、上記の値を算出することができます。
y = 1 << n;シフト演算についても詳細は下記ページで解説していますので、詳しく知りたい方は是非読んでみて下さい。
C言語のビット演算（論理演算）について解説
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プログラム
この剰余算と除算を繰り返して１０進数を２進数に変換するプログラムのソースコードは下記のようになります。
下記では変数 x に格納された値を２進数にした結果を配列 bin に格納しています。出力される２進数は必ず３２桁になります。
#include <stdio.h>
#define MAX_BIT 32
int main(void) {
unsigned int x; /* １０進数格納用 */
unsigned int bin[MAX_BIT]; /* ２進数格納用 */
unsigned int n;
unsigned int i;
unsigned int a; /* 特定の桁のみ1の値格納用 */
/* １０進数を格納 */
x = 123456789;
/* 第0桁から値を算出していく */
n = 0;
while (n < MAX_BIT) {
/* 第n桁のみ1の値を算出 */
a = (unsigned int)1 << n;
/* &演算で第n桁の値取得 */
if ((x & a) == 0) {
bin[n] = 0;
} else {
bin[n] = 1;
}
/* 次の桁へ */
n++;
}
/* 求めた２進数を表示 */
for (i = 0; i < n; i++) {
/* 第i桁を表示 */
printf("%u", bin[n - 1 - i]);
}
printf("\n");
return 0;
}この方法では「剰余算と除算を繰り返す方法」と違って、上位の桁から値を算出することができます。
この場合はわざわざ配列に値を格納して後から表示しなくても、求めた桁から表示してやれば、自然と上位の桁から値が表示されていきます。
#include <stdio.h>
#define MAX_BIT 32
int main(void) {
unsigned int x; /* １０進数格納用 */
unsigned int n;
unsigned int i;
unsigned int a; /* 特定の桁のみ1の値格納用 */
/* １０進数を格納 */
x = 123456789;
/* 第31桁から値を算出していく */
n = MAX_BIT - 1;
while (1) {
/* 第n桁のみ1の値を算出 */
a = (unsigned int)1 << n;
/* &演算で第n桁の値取得 */
if ((x & a) == 0) {
printf("0");
} else {
printf("1");
}
/* 第0桁を表示したら終了 */
if (n == 0) {
break;
}
/* 次の桁へ */
n--;
}
printf("\n");
return 0;
}その他のプログラム
１０進数から２進数への変換を行う上で重要になるのは「１０進数は２の冪乗の和の形式で表せる」「コンピュータ内部では２進数で値が扱われる」の２点だと思います。
この２点を理解しておけば、他にもいろんな実装で１０進数から２進数への変換を行うことができます。
最後にその例をいくつか紹介しておこうと思います。
２の冪乗の引き算を繰り返して２進数変換
下記がソースコード例になります。「１０進数は２の冪乗の和の形式で表せる」ことを利用して２の冪乗の引き算を繰り返すことで２進数変換を行っています。
#include <stdio.h>
#define MAX_BIT 32
int main(void) {
unsigned int x; /* １０進数格納用 */
unsigned int a; /* 2の冪乗格納用 */
unsigned int n;
unsigned int i;
/* １０進数を格納 */
x = 123456789;
/* 第31桁から値を算出していく */
n = MAX_BIT - 1;
while (1) {
/* 2のn乗を計算 */
a = 1;
for (i = 0; i < n; i++) {
a = a * 2;
}
if (x >= a) {
printf("1");
x = x - a;
} else {
printf("0");
}
/* 第0桁を表示したら終了 */
if (n == 0) {
break;
}
/* 次の桁へ */
n--;
}
printf("\n");
return 0;
}スポンサーリンク
２の冪乗の計算とビット演算で２進数変換
下記がソースコード例になります。ビット演算を用いる方法の最後に紹介したものとほぼ同じですが、こちらはシフト演算を用いずに２進数変換を実現しています。
#include <stdio.h>
#define MAX_BIT 32
int main(void) {
unsigned int x; /* １０進数格納用 */
unsigned int n;
unsigned int i;
unsigned int a; /* 特定の桁のみ1の値格納用 */
/* １０進数を格納 */
x = 123456789;
/* 第31桁から値を算出していく */
n = MAX_BIT - 1;
while (1) {
/* 2のn乗を計算 */
a = 1;
for (i = 0; i < n; i++) {
a = a * 2;
}
/* &演算で第n桁の値取得 */
if ((x & a) == 0) {
printf("0");
} else {
printf("1");
}
/* 第0桁を表示したら終了 */
if (n == 0) {
break;
}
/* 次の桁へ */
n--;
}
printf("\n");
return 0;
}まとめ
このページでは正の整数を１０進数から２進数に変換する方法の考え方およびプログラムの解説を行いました。
おそらく一番有名な方法は「剰余算と除算を繰り返す筆算」だと思います。ただこの方法を知っている方でも、「なぜこの方法で２進数に変換できるのか？」の理由を知らない方も多いのではないでしょうか？
この理由や考え方を理解しておけば、２進数変換を行う他の方法や実装も自力で考え出せるようになります。このページでは特にこの考え方の解説に力を入れていますので、２進数変換のプログラミングできる方にも是非じっくり読んでいただければと思います。
